作者：CEA-LETI (Silvaco, Inc.) 

前言：

        在过去40年间，基于传统平面CMOS（互补金属氧化物半导体）工艺的全球半导体产业繁荣发展，但随着制成技术微缩达到了纳米级别，器件与器件间性能的偏差（variations）对制造技术造成了巨大的挑战。这种器件性能的偏差严重影响到晶体管的电学特性，进而影响到了集成电路的表现及其功能。

        目前，SRAM（静态随机存取存储器）作为高速缓存被广泛置于更高速的中央处理器和较低速的主存储器之间，以衔接二者之间的性能差异。六晶体管（6T）SRAM单元设计几十年来一直被用作内嵌式缓存，已经成功微缩到了28nm节点，并且在更先进的CMOS技术节点中该设计仍然处于主导地位。

        多样化的电路设计和工艺技术发展一直引导工业界来确保可靠的SRAM运算和克服SRAM微缩的挑战。然而，为了满足如文中偏差意识设计（variability-aware design）所述的5-/6-sigma良率要求，更高效而准确的统计方法显得十分必要。

概述：

        蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）分析是一种适用于计算参数良率和设计验证的通用方法。蒙特卡洛亦称为强力蒙特卡洛（Brute Force MC），有着相较于传统预设corner的优势，即准确性。这种准确性不依赖于工艺参数的数目，从而有效避免了参数的过度设计并且实现了参数的相关性管理。

        使用蒙特卡洛分析时，参数的变化是通过统计分布实现的（如图1）。这类参数的随机变量选取服从其分布函数，进而蒙特卡洛分析可以尝试在设计初期阶段就捕获绝大多数可能的偏差特性。

图1. 服从统计分布的工艺参数定义

        如下所述一些基本的统计学概念及其应用：在纳米级技术节点中，一些参数的统计分布并不服从高斯分布，但仍旧在统计概念上将其定义为高斯分布（如图2）；通常的做法就是将提取出来的分布绘制成高斯分布，并且以sigma为单位划分其良率；此外，其他一些设计者感兴趣的统计参数还有平均值，标准差，最小值和最大值等。

图2. 高斯分布：良率区间划分与sigma的关联

        然而，对于蒙特卡洛分析而言，随着仿真数量的增加，精确性提升很缓慢，所以蒙特卡洛通常需要巨大的仿真数量。特别是一些IP库设计，如SRAM 存储器单元（bit cell），要求检测到十亿级别中的几个失效情况，因此蒙特卡洛仿真数量需要到达几百万甚至几十亿的量级。总体而言，蒙特卡洛仿真是非常耗时，主要是由于样本分布的随机性和不规则性形成了样本数据点的聚集或是离散（如图3），从而造成了很多不能提供任何额外有用信息的多余样本。

图3. 蒙特卡洛取样

        更多的蒙特卡洛仿真数量通常会带来更好的准确性。表格1列举了sigma准确性和蒙特卡洛仿真数量之间的关系（在95%的置信区间和+/-10%失效率相对精度的条件下），这可以帮助设计者预估在指定精度下的产品设计良率。值得注意的是，在选取其他置信区间和相对精度时，需要的仿真数量或多或少会有一些变化。

        在设计验证中，较高的精度和较好的置信度仍然是设计者的选取要求。在1946.9亿次仿真实验后得到的6-sigma数据对于设计者来说是完全可信的。而失效检测的要求是在6-sigma分析中，设计者能够检测到5亿次实验中的1次失效情况（如表格2）。

        然而，通过失效检测虽然能检测到几次失效情况，但这并不能提供一个对失效率的精确估计。

表1. 验证sigma准确性所需要的蒙特卡洛仿真数目

表2. 4-/5-/6-sigma下的失效检测

VarMan快速蒙特卡洛分析：

        采用增强型的整合/抽样策略可以缓减仿真负担，这些策略使用的方法包括Latin Hypercube抽样法、Lattice规则和准蒙特卡洛。然而，值得注意的是当有以下情况出现的时候这些方法并不适用：（a）一些工艺参数变化对电路性能影响的假设不成立时；（b）工艺参数的数目过多时，如对准蒙特卡洛来说参数数目超过几十个。基于以上的这些考虑，设计者只能选取有限的工艺参数数目，因此想要得出全局的工艺偏差就受到了制约。特别是当制成微缩到了纳米级时，工艺参数的选取会变得极其受限，因为对纳米级制成来说，工艺偏差是由一系列非常多的参数表达式决定的，尤其是局部偏差的参数其随着技术节点的更新在爆炸式增加。

        VarMan快速蒙特卡洛方法是一次技术上的突破，即便在考虑大量参数的情况下，通过多次加速蒙特卡洛分析，依然可以帮助设计者实现其需求。

        尽管蒙特卡洛面临抽样效率的问题，但是SILVACO的动态优化抽样技术（DOS）能够有效地管理巨大的（高维度空间的）输入数量和很好地适应高度非线性现象（如图4）。这项已获得专利授权的技术克服了诸如多项式实验设计等传统方法的弱点。它实现了多维度参数空间更好的覆盖率，同时保证了新样本在参数空间良好的分布并且和初始样本相关联，所以这并不是一个在多维度参数空间里的简单抽样操作，尤其是对全局或局部变量数量已达到上百甚至上千个的纳米级技术节点而言。

图4. 动态优化抽样技术

        采用快速蒙特卡洛（FMC）时，设计者会期望获得和蒙特卡洛相同的分布形状、sigma值、最小值和最大值以确保其准确性。

        一个简明的实现方式就是基于设计者想进行的仿真实验数量，通过快速蒙特卡洛来找到其等效分布，而往往这个数量比传统方法所需要的更少，即快速蒙特卡洛的运行方式。快速蒙特卡洛工具唯一所需的输入条件就是设计者通常想要进行的蒙特卡洛仿真实验数量，然后智能的快速蒙特卡洛工具就会执行运算其统计分布，最终以满足蒙特卡洛所需的精确性。

        表格3总结并比较了基于28nm高密度FDSOI存储器单元的快速蒙特卡洛结果和其等效的蒙特卡洛仿真实验数量，图表中指出了蒙特卡洛仿真所需要的数量和快速蒙特卡洛所进行数量。该比较结果是通过Spice仿真器得到的。

表3. 基于28nm FDSOI 6T存储器单元的快速蒙特卡洛与蒙特卡洛结果比较

        仅仅通过854次和1334次仿真实验，VarMan快速蒙特卡洛就可以分别给出相当于10000次和50000次实验得到的等效分布，同时拥有非常好的准确性。

        尽管快速蒙特卡洛能够提供良率的粗略估算，但快速蒙特卡洛并非专门针对准确的良率计算和高良率的研究，而这项任务是由文中后续章节所述的VarMan 高良率分析完成的。

VarMan 高良率（High-Sigma）分析：

        值得注意的是前文中讨论的增强型蒙特卡洛方法并非应用于高良率估算，原因在于研究失效发生的罕见情况通常需要的仿真时间过长而无法接受。目前为止，实现高良率分析的最常规方法就是重要性采样（Importance Sampling，IS）和Statistical Blockade。尽管这些方法都聚焦于大家感兴趣的分布的末端，但是它们都受限于相对工艺参数数目而言较差的可扩展性。后一种方法试图在工艺参数中建立一个位于合格与失效边界的分离器，并用它来决定样本是否要被仿真，但是这样的分离器在高维度和非线性时会遇到准确性的问题。

        另一种方法就是最差情况距离分析（Worst-Case Distance），通常采用线性行为假设，但是当遇到像SRAM这样复杂情况时准确性会有问题，并且可能导致乐观地估计了良率。

        VarMan 高良率分析利用其强大的动态优化抽样技术，结合其他革新的技术，解决了高维度问题并且利用最少的仿真实验数目来预测了罕见情况的发生（如图5）。同时，VarMan 高良率分析也能够处理非连续的高度非线性现象。

图5. VarMan 高良率智能抽样

        图6展示了用于高良率分析的动态优化抽样技术。从位于中心的少数几个样本（蓝色点）出发，高良率分析能够快速达到大家感兴趣的区间。相比之下，蒙特卡洛（红色点）就需要巨大的样本数量以找到处于合格与失效边界的相关数据点。

图6. 应用于高良率分析的动态优化抽样（蓝色）和蒙特卡洛抽样（红色）比较

        VarMan提供了多样化的高良率分析：良率估算器和性能极限提取器。前者在设计者能够提供上下限（LSL/USL）时使用，而后者专门用于在给定sigma的情况下找到其上下限。

        图7所示应用于28nm FDSOI高密度6T 存储器单元在0.6V下的静态噪声容限（noise margin）分析。图8 比较了高良率估算器得到的结果（归一化单位为sigma）和以六百万次蒙特卡洛仿真为参考标准的结果。图中重点强调了当测试到4.8 sigma时，两组结果间高度的一致性，同时也意味着0.6V下该存储器单元在5-sigma区间内的稳定性。

图7. 6T 存储器单元示意图和静态噪声容限量测

图8. VarMan 高良率分析与蒙特卡洛（参考值）的对比

        当LSL=5e-3时，高良率估算器给出的良率sigma为4.8389，并伴随着百万分之一点三（1.3ppm）的良率损失。

        再者，高良率性能极限提取器已经被用于以步长为0.25的3.25~4.75的sigma区间。与两千万次Spice蒙特卡洛仿真结果相比（如图8），该提取器提供了很高的精度，同时也能观察到和采用传统高斯外推方法的差异。

图9. 性能极限提取器结果与两千万次Spice结果的对比

        无需多言，高良率分析同时也是一个非常强大的失效检测器。在确保精确度的情况下寻求对失效率的估算，高良率分析将会大规模地检测超出标准范围的结果并将它们提供给设计者。

总结： 

        VarMan不仅仅是一个新产品，还是在设计层面上处理分析工艺偏差中一个突破性的新方法。一方面高良率分析是有着高精度的稳定工具，另一方面快速蒙特卡洛又可以被作为一个新的蒙特卡洛标准来帮助设计者管理设计质量和提供更高的生产效率与设计可靠性。VarMan正是偏差意识设计中缺失的部分，它能够有效管理全局和局部的偏差，甚至这些偏差是由一系列非常多的工艺参数所表达的，并且也不需要设计者额外地去修改网表或是设计套件文件。采用VarMan时，设计者不需要是一个统计学专家或是随机性设计专家，而只需要是一位纯粹的设计者和决策者即可。